Λυση Διαφορικης...

[horsepower]

Παιδια γνωριζει κανεις τον τροπο επιλυσης αυτης της διαφορικης?

 

dy/dx=((x^2)+y)/x

[Malthador]

Με μία γρήγορη ματιά επαληθεύεται από την y(x) = x^2 + cx

 

Θες αναλυτικά την λύση;

[horsepower]

Ναι την λυση την ξερω αλλα το πως βγαινει δεν καταλαβαινω. Αν σου ειναι ευκολο..

 

---------- Προσθήκη στις 00:51 ---------- Προηγούμενο μήνυμα στις 00:46 ----------

 

Ακυρο το καταλαβα τελικα πως γινεται. Ευκολη ειναι απλα εχω χαζεψει...Ευχαριστω πολυ παντως.

[Malthador]

Πάμε:

 

Είναι γραμμική ΣΔΕ των οποίων ο γενικός τύπος είναι:

 

y' + f(x)y = g(x)

 

και στην άσκησή μας είναι f(x) = -1/χ και g(x) = x

 

Βρίσκω τη λύση της αντίστοιχης ομογενούς:

 

 

y' + f(x)y = 0 -> y' - y/x = 0 -> dy/dx - y/x = 0 -> dy/y - dx/x = 0

 

Είναι χωριζόμενων μεταβλητών, οπότε με απλή ολοκλήρωση παίρνω:

 

ln|y| - ln|x| = ln|c| -> ln|y| - ln |c| = ln|x| -> ln|y/c| = ln|x| -> y/c = x -> y=cx

 

Στη συνέχεια βρίσκω μία μερική λύση της πλήρους ΣΔΕ. Θα είναι της μορφής:

 

y* = c(x)x, θα πρέπει να ικανοποιεί την αρχική μου ΣΔΕ:

 

(y*)' - y*/x = x -> [c(x)x]' - [c(x)x]/x = x -> c'(x)x + c(x) - c(x) = x -> c'(x) = 1 -> c(x) = x

 

Άρα y* = x^2.

 

Η γενική λύση της πλήρους ΣΔΕ δίνεται από το άθροισμα της λύσης της αντίστοιχης ομογενούς συν μιάς μερικής λύσης.

 

Συνεπώς

 

y = x^2 + cx

[evabb]

αν και με την τελικη λυση συμφωνω, θα ελεγα οτι ειναι διαφορικη τυπου Euler xy'+y=f(x) οπου η γενικη λυση της ομογενης ειναι χ^r και αντικαθιστουμε στην εξισωση κτλ κτλ.