Μαθηματική απορία με παραγώγιση

[funbreaker]

 

Βρήκα σε ένα βιβλίο την παραπάνω ισότητα που φαίνεται πολύ απλή και εύκολη αλλά δεν την καταλαβαίνω.

Δεν καταλαβαίνω την διαφορά της χρήσης του d από το σύμβολο της μερικής διαφόρισης και γενικά πως από το 1ο μέλος πάμε στο 2ο.

Σημειώνω πως η V είναι συνάρτηση των x και t.

[Sellers]

Κάθε συνάρτηση f που εξαρτάται απο κάποιες μεταβλητές (εδω x και t) έχει ενα διαφορικό df. Το d λοιπόν σημαίνει το διαφορικό της συνάρτησης και ορίζεται ως εξής:

(Με θ θα συμβολίζω την μερική διαφόριση.)

 

df = θf/θx dx + θf/θt dt

 

(αν εχεις και άλλες μεταβλητές απο τις οποίες εξαρτάται η f, τις βάζεις και αυτες με τον ίδιο τρόπο)

 

Μετα αυτό που κάνει είναι ότι (ας πουμε) διαρεί με ενα dt οπότε ο πρώτος όρος του δευτερου μέλους έχει το dx/dt, ενω στο δεύτερο το dt/dt ειναι μονάδα και δεν το γράφει.

 

Η μερική παραγώγιση σημαίνει ότι πρέπει να εμφανίζεται ρητά μέσα ο χρόνος για να τον παραγωγίσεις. Να υπάρχει δηλαδή κάπου ένα t.

Π.χ 

 

V = 1/2 m ω^2 x^2

 

Εδω πέρα δεν υπάρχει ρητά ο χρόνος. Αρα η μερική του V ως προς t είναι μηδέν. Αλλά το dV/dt υπάρχει, γιατί μένει ο άλλος όρος. (ή επειδή το V εξαρτάται απο το x το οποίο εξαρτάται απο το t. Υπάρχει δηλαδή εξάρτηση του V απο το t αλλά όχι απευθείας εξάρτηση.)

[PostHelper]

Κάθε συνάρτηση f που εξαρτάται απο κάποιες μεταβλητές (εδω x και t) έχει ενα διαφορικό df. Το d λοιπόν σημαίνει το διαφορικό της συνάρτησης και ορίζεται ως εξής:

(Με θ θα συμβολίζω την μερική διαφόριση.)

 

df = θf/θx dx + θf/θt dt

 

(αν εχεις και άλλες μεταβλητές απο τις οποίες εξαρτάται η f, τις βάζεις και αυτες με τον ίδιο τρόπο)

 

Μετα αυτό που κάνει είναι ότι (ας πουμε) διαρεί με ενα dt οπότε ο πρώτος όρος του δευτερου μέλους έχει το dx/dt, ενω στο δεύτερο το dt/dt ειναι μονάδα και δεν το γράφει.

 

Μπακαλη.

Φυσικα κυριολεκτικα και ουσιαστικα δεν διαιρουμε με dt και ειναι λαθος εαν χρησιμοποιηθει αυτος ο τροπος ως αποδειξη της σχεσης, αλλά και δειχνει και μη κατανοηση του ολου θεματος της παραγωγισης συνθετων συναρτησεων εαν καποιος το εξηγησει ετσι. Δεν το λεω για εσενα επειδη ειπες "ας πουμε", πραγμα που δειχνει οτι ηξερες οτι ειναι λαθος αλλά δεν ηθελες να μπλεξεις με την κυριολεκτικη αναλυση και αυστηρη θεμελιωση και αποδειξη της σχεσης και ειπες να το ξεπεταξεις στα γρηγορα πετωντας ενα "διαιρουμε".

 

Βρήκα σε ένα βιβλίο την παραπάνω ισότητα που φαίνεται πολύ απλή και εύκολη αλλά δεν την καταλαβαίνω.

Δεν καταλαβαίνω την διαφορά της χρήσης του d από το σύμβολο της μερικής διαφόρισης και γενικά πως από το 1ο μέλος πάμε στο 2ο.

Σημειώνω πως η V είναι συνάρτηση των x και t.

 

Απλά ειναι τα πραγματα.

Το V ειναι της μορφης V = f( x(t) , t)

Δηλαδη το V εξαρταται και απο το t αμεσα και απο το t εμμεσα μεσω του x, που εξαρταται και αυτο αμεσα απο το t.

Οποτε σε αυτη την περιπτωση ισχυει οτι  dV/dt = (θV/θx)(dx/dt) + θV/θt

[Sellers]

 Busted!!!

 

Πες μου μόνο κάτι, είσαι μαθηματικός?

[PostHelper]

 Busted!!!

 

Πες μου μόνο κάτι, είσαι μαθηματικός?

 

Ναι, γιατι?

[Sellers]

Το φαντάστηκα γιατί συνήθως οι μαθηματικοί είναι λάτρεις της αυστηρότητας. Όχι φυσικά ότι είναι κακό, ίσα ίσα.

Απο την πλευρά του φυσικού, με τον καιρό συνηθίζεις απλά να τα χρησιμοποιείς για να φτάσεις κάπου, οπότε αργά η γρήγορα το dt γίνεται ''διαίρεση'' κ.λ.π κ.λ.π 

 

Πολλές φορές έχω φτάσει σε διάφορα σημεία που με αυτά που κάνουμε, αναρωτιέμαι: τι θα λεγε αραγε ενας μαθηματικος αν τα βλεπε αυτά?

 

 

[PostHelper]

Το φαντάστηκα γιατί συνήθως οι μαθηματικοί είναι λάτρεις της αυστηρότητας. Όχι φυσικά ότι είναι κακό, ίσα ίσα.

Απο την πλευρά του φυσικού, με τον καιρό συνηθίζεις απλά να τα χρησιμοποιείς για να φτάσεις κάπου, οπότε αργά η γρήγορα το dt γίνεται ''διαίρεση'' κ.λ.π κ.λ.π 

 

Πολλές φορές έχω φτάσει σε διάφορα σημεία που με αυτά που κάνουμε, αναρωτιέμαι: τι θα λεγε αραγε ενας μαθηματικος αν τα βλεπε αυτά?

 

 

 

Βασικα αυτα που κανετε ειναι σωστα(ως προς το αποτελεσμα), απλως η εξηγηση που δινετε(ή δεν δινετε) για το αποτελεσμα και η διαδικασια(αποδειξη) που ακολουθειτε ειναι που δεν αποδεικνυεται(αδιαφορειτε να την αποδειξετε) με αυστηρο τροπο. Ολες αυτες οι προσεγγισεις που κανετε ειναι στην πραγματικοτητα σωστες για τους σκοπους που προσπαθειτε να εφαρμοσετε, απλως ουτε τους σκοπους θετετε με αυστηροτητα, ουτε αποδεικνυετε για ποιον λογο η προσεγγιση ειναι σωστο να γινει.

 

Στην φυσικη ουτως ή αλλως δεν υπαρχουν και αξιωματα αλλά μόνο υποθεσεις(θεωριες) που θεωρουνται αξιωματικες μεσα σε στατιστικα πλαισια(ενα πειραμα με αποτελεσματα βεβαιοτητας 6 σιγμα και ανοιγετε σαμπανιες και το θεωρειτε 100%--κατι που ενας μαθηματικος αρρωσταινει και μόνο που το ακουει) ή μεσα σε πλαισια μη αποδειξης του αντιθετου(πχ εφοσον 10 πειραματα λενε το Α και εφοσον δεν εχει βρεθει πειραμα που να αντιβαινει στο Α, τοτε θεωρουμε το Α αληθες) οποτε θα ηταν δυσκολο να λειτουργει μη προσεγγιστικα και αναζητωντας απολυτη ακριβεια για καθε βημα.

[evabb]

 Busted!!!

 

Πες μου μόνο κάτι, είσαι μαθηματικός?

 

συμφωνω κι εγω μαζι του και δεν ειμαι μαθηματικος. ειναι ακριβως οπως τα λεει στις τελευταιες γραμμες.

[Sellers]

ειναι ακριβως οπως τα λεει στις τελευταιες γραμμες.

 

Ναι, δεν νομίζω ότι είπα κάτι διαφορετικό.

[caution]

 

Τότε ήταν που έχασα την πίστη μου στους μαθηματικούς...

[evabb]

Ναι, δεν νομίζω ότι είπα κάτι διαφορετικό.

 

μα διαιρεση;;; :P

[Sellers]

Πφφφ. Γκουρμεδιάρηδες.

[Anorymous]

 

Τότε ήταν που έχασα την πίστη μου στους μαθηματικούς...

Εγω οταν εμαθα οτι 0.999999999999999999999999999999999....=1

[defacer]

 

 

PS: Εκείνο με τον οικονομολόγο, το φυσικό και τον μαθηματικό στο τρένο που βλέπουν τη μαύρη αγελάδα στο λιβάδι το ξέρετε; 

[linuslost]

 

 

PS: Εκείνο με τον οικονομολόγο, το φυσικό και τον μαθηματικό στο τρένο που βλέπουν τη μαύρη αγελάδα στο λιβάδι το ξέρετε; 

για πες!