Υπολογισμός σημείων τριγώνου;

[TSMGeorge]

Task

Δίνονται α και β (α, β) που συμβολίζουν το μήκος των πλευρών ενός τριγώνου.

Να βρείτε (αν είναι εφικτό) σημεία (x1, x2, y1, y2) τέτοια ώστε καμία πλευρά να μην είναι παράλληλη σε κάποιον άξονα. 

 

Ξέρουμε ότι...

(x₂-x₁)² + (y₂-y₁)² = a²

(x₃-x₁)² + (y₃-y₁)² = b²

 

Για την ώρα απλά βρίσκω 2 αριθμούς Χ και Υ ώστε να μου κάνουν α² (και για το β² επίσης). Το πρόγραμμα φυσικά δεν δουλεύει σωστά.

 

Μπορώ να βρω μαθηματικά, σημεία (x1, x2, y1, y2) ώστε να μου κάνουν α² ? 

 

PS 1: Δεν είναι κάποια εργασία.

 

PS 2: Σκέφτομαι να ακολουθήσω το εξής:

• Φάση 1: Βρες Χ και Υ τέτοια ώστε να κάνουν α² (και για το β² αντίστοιχα)
• Φάση 2: Για όλα τα Χ και Υ που έχεις βρει, βρες σημεία ώστε Χ2-Χ1 = Χ και Υ2-Υ1=Υ.
• Φάση 3: Παίρνουμε όλα τα σημεία (ομάδες σε λίστα) και ελέγχουμε αν το τρίγωνο που προκύπτει πληρεί τα παραπάνω.

      Δεν ξέρω κατά πόσο είναι σωστό!

      Επίσης-Πχ: Αν το Χ = 1000, υπάρχουν απίστευτα πολλοί αριθμοί Χ2 και Χ1 που η διαφορά τους μας δίνει 1000. 

[nikolaos_]

Αν (x₁, y₁), (x₂, y₂), (x₃, y₃) είναι τα σημεία του τριγώνου, τότε για να είναι μια πλευρά παράλληλη στον x-άξονα πρέπει ισχύει μια από τις συνθήκες x₁=x₂ ή x₂=x₃ ή x₁=x₃. Όμοια αν ισχύει y₁=y₂ ή y₂=y₃ ή y₁=y₃ τότε μια πλευρά είναι παράλληλη στον y-άξονα.

 

Αυτό που ζητάς δεν νομίζω να έχει μια λύση. Ζητάς να βρεις δυο σημεία (x₁, y₁), (x₂, y₂) που να έχουν απόσταση α. Παίρνεις το πρώτο όπου θες, οπότε για το δεύτερο σημείο υπάρχει ένας ολόκληρος κύκλος (ακτίνας α) για να επιλέξεις...

[TSMGeorge]

To 1ο που είπες είναι το μόνο εύκολο. Το θέμα είναι πως βρίσκουμε σημεία...

[albNik]

Καθε πρωτος του τυπου 4*ν+1 μπορει να εκφραστει ως άθροισμα τετραγώνων 

πχ. 5=1*1+2*2, 13=2*2+3*3 

Το 3 και το 7 δεν εκφραζονται ως αθροισμα τετραγώνων (ειναι 4*ν+3)

 

Το γινομενό τους  μπορει να εκφραστει με περισσοτερους τρόπους 

5*13=65=16+49=1+64

 

http://mathworld.wolfram.com/SumofSquaresFunction.html

[nikolaos_]

To 1ο που είπες είναι το μόνο εύκολο. Το θέμα είναι πως βρίσκουμε σημεία...

Τι εννοείς "πώς βρίσκουμε σημεία"; Είναι ασαφές. Είναι σαν να με ρωτάς πώς βρίσκω ποια μέρη στην Ελλάδα απέχουν 200 χλμ. μεταξύ τους.

 

Το πρόβλημά σου επιδέχεται πολλές λύσεις. Το μόνο δεσμευτικό δεδομένο που έχεις είναι η απόσταση α μεταξύ τους. Αυτό δεν φτάνει να προσδιορίσει μόνο δύο σημεία.

 

Οπότε διαλέγεις αυθαιρέτως ένα σημείο (βάζεις δικές σου τιμές στα x₁, y₁). Με κέντρο το (x₁, y₁) και ακτίνα α σχηματίζεται ένας ολόκληρος κύκλος, από τα σημεία του οποίου θα επιλέξεις το δεύτερο σημείο σου.

[παπι]

v1 <= ( 0, β )

v2 <= ( α, 0 )

[TSMGeorge]

Νίκο

 

Φαντάσου το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. (-Χ Χ, -Υ Υ axes) πρέπει να βρεις σημεία x1, x2, y1, y2 ώστε να σου σχηματίσουν το τρίγωνο που έχεις (από τα legs του) έτσι ώστε (αν αυτό είναι δυνατόν) καμιά πλευρά να μην είναι παράλληλη σε κάποιον άξονα.

[defacer]

Επειδή δε βγάζει κανένα απολύτως νόημα η εκφώνηση, υποθέτω ότι εκτός από τα α, β έχεις και κάτι άλλο, π.χ. και ένα σημείο (x3, y3) που είναι η μία γωνία του τριγώνου, αλλά δεν το λες.

[παπι]

Λογικά το 3 σημειο θα εννοεί το 0. Το απλούστατο κατα την άποψη μου είναι να βάλεις τα δυο σημειά παράλληλα με τους άξονες και μετα να τα περιστρεψεις.

[TSMGeorge]

τα (α, β) δεν είναι τα σημεία!!! είναι το μήκος των πλευρών α και β ( γ το βρίσκεις, αφού είναι Right Angled, γ² = α² + β²)

 

Εσύ πρέπει να ψάξεις αν υπάρχουν σημεία για το τρίγωνο αυτό, ώστε να μην είναι παράλληλη κάποια πλευρά. Αν υπάρχουν σημεία καλώς αλλιώς επιστρέφεις False (δεν μπορεί να τοποθετηθεί)

[nikolaos_]

Νίκο

 

Φαντάσου το καρτεσιανό σύστημα συντεταγμένων. (-Χ Χ, -Υ Υ axes) πρέπει να βρεις σημεία x1, x2, y1, y2 ώστε να σου σχηματίσουν το τρίγωνο που έχεις (από τα legs του) έτσι ώστε (αν αυτό είναι δυνατόν) καμιά πλευρά να μην είναι παράλληλη σε κάποιον άξονα.

 

Μου φαίνεται ότι πρέπει να σ' το ζωγραφίσω.

 

Ας πούμε ότι το παπί έχει καταλάβει σωστά ότι το τρίτο σημείο είναι το Ο=(0,0) στην αρχή των καρτεσιανών συντεταγμένων, γιατί τα διατυπώνεις όπως να 'ναι.

 

Στο σχήμα (δες κάτω-κάτω στο ποστ) πήρα το μήκος ΟΑ=α και μήκος ΟΒ=β. Οι επιλογές που έχεις για να φτιάξεις ένα τρίγωνο ΟΑΒ είναι απεριόριστες. Έφτιαξα τους διακεκομμένους κύκλους με κέντρο το Ο για να σου δείξω ότι οπουδήποτε πάνω τους βάλεις τα σημεία Α και Β αντίστοιχα, τότε δεν θα διαταραχθεί η απόστασή τους ΟΑ=α ή ΟΒ=β.

 

Αν θες να αποφύγεις το τρίγωνο να αποκτήσει πλευρές παράλληλες στους άξονες, απλώς εξαιρείς από κάθε κύκλο τέσσερα σημεία του, αυτά όπου οι άξονες x και y διασταυρώνουν τον κάθε κύκλο.

 

Έτσι μπορείς να επιλέξεις πάνω στον έναν κύκλο το Α με ΟΑ=α και να αποφύγεις μόνο τέσσερα σημεία του κύκλου.

Ομοίως, μπορείς να επιλέξεις πάνω στον δεύτερο κύκλο το Β με ΟΒ=β και να αποφύγεις μόνο τέσσερα σημεία του κύκλου.

 

Ποια είναι αυτά τα τέσσερα σημεία κάθε κύκλου; Για τον κύκλο του Α είναι τα (α,0), (0,α), (-α,0) και (0,-α).

Για τον κύκλο του Β είναι τα (β,0), (0,β), (-β,0), (0,-β).

 

Αν Α=(x₁, y₁) και Β=(x₂, y₂), τότε πρέπει να αποφύγεις τις τιμές (x₁=±α, y₁=0), (x₁=0, y₁=±α), (x₂=±β, y₂=0), (x₂=0, y₂=±β). Όλες οι άλλες τιμές των (x₁, y₁) και (x₂, y₂) που ικανοποιούν τις συνθήκες:

 

x₁² + y₁²=α²

x₂² + y₂²=β²

 

είναι αποδεκτές.

 

Οπότε βάζεις μια τιμή x₁=κ, όποια θες ανάμεσα στο 0<κ<α και -α<κ<0 και έχεις με sqrt να είναι η τετραγωνική ρίζα, y₁=sqrt(α²-κ²) επομένως τα σημεία που θες για το Α είναι της μορφής Α=(κ, sqrt(α²-κ²)).

 

Π.χ. αν α=5 τότε παίρνω κ=3 άρα sqrt(α²-κ²)=sqrt(25-9)=sqrt(16)=4 και το σημείο (3, 4) είναι αποδεκτό.

 

Όμοια γίνεται για το β, παίρνοντας ένα αυθαίρετο x₂=λ, με 0<λ<β, -β<λ<0 και όλα τα σημεία της μορφής Β=(λ, sqrt(β²-λ²)) έχουν την ιδιότητα ΟΒ=β χωρίς το ΟΒ να είναι παράλληλο στους άξονες.

 

Τα κ και λ είναι παραμετρικά, τα ορίζεις εσύ. Παρότι τηρούν τις συνθήκες 0<κ<α, -α<κ<0, 0<λ<β, -β<λ<0, έχουν αρκετή ανεξαρτησία για να επιλέξεις τις τιμές τους.

 

Σημειώνω πως υπάρχει κι άλλη μια πρόσθετη συνθήκη για τα κ, λ, για να μη συμπίπτουν οι ευθείες ΟΑ και ΟΒ, αλλά αυτό επίσης δεν αλλάζει τις απεριόριστες επιλογές σου.

 

Έτσι το πρόβλημά σου έχει "άπειρες" λύσεις:

Α=(κ, sqrt(α²-κ²))

Β=(λ, sqrt(β²-λ²))

 

με κ, λ να τηρούν κάποιες συνθήκες, αλλά γενικά έχουν απεριόριστες τιμές.