Προβλημα Μαθηματικα

[thyra_7]

Δινεται η σχεση f(x+y)=xf(x)+yf(y)

Nα αποδειξεται οτι η f ειναι αρτια

 

Εχω κολλησει σε αυτην την ασκηση :help:

[padarofe]

Στην σχεση βαζεις οπου το x=y=0 και βγαινει οτι f(0)=0.Μετα οπου y=-x βγαινει f(0)=xf(x)-xf(-x) -->x(f(x)-f(-x))=0 αρα

χ=0 η f(x)=f(-x)

[thyra_7]

ευχαριστω φιλε μου

 

σε αυτην μπορω να βαλω οπου χ=ψ=0;

 

f: R->R*

f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)f(y)

 

σε αυτην μπορω να βαλω οπου χ=ψ=0;

 

f: R->R*

f(x+y)+ f(x-y)=2f(x)f(y)

[padarofe]

Ναι φυσικα μπορεις αφου εχει πεδιο ορισμου το R.Προσεχε ομως,εχεις πεδιο φυγης το R*,δηλ δεν υπαρχει x η y τετοιο ωστε f(x)=0 f(y)=0.Με την ιδια λογικη της προηγουμενης ασκησης καταληγεις οτι f(0)=1.Χρησιμοποιησε το για το ζητουμενο της ασκησης.

[thyra_7]

η ασκηση λεει να αποδειξω οτι ειναι αρτια

[padarofe]

Μπορει να βγαινει και ποιο γρηγορα απο τον δικο μου τροπο,αλλα μια προχειρη απαντηση ειναι:

Βρηκαμε οτι f(0)=1

 

Αρα στη σχεση οπου χ=ο αφου χεR εχεις

 

f(0+y)+f(0-y)=2f(o)f(y)--> f(y)+f(-y)=2f(y)-->f(y)=f(-y)