πρόβλημα γεωμετρίας [σχεδιαστικό]

[nickmanak]

Προσπαθώ να υπολογίσω ποια διάμετρο (ή ακτινα) πρέπει να έχουν οι μικροι κύκλοι της φωτογραφίας.

Eγω θελω συγκεκριμένο αριθμό κύκλων, οι οποιοι πρεπει να ειναι τοποθετημενοι κολλητά διπλα διπλα πάνω στον μεγάλο κύκλο, ΧΩΡΙΣ ΚΕΝΑ.

 

Για παράδειγμα, στη φωτό έχω κανει το μεγαλο κυκλο σε CAD προγραμμα με διαμετρο 3.18 και περιφερεια 10. Θελω να τοποθετησω 36 μικρους κυκλους πανω στον μεγαλο, διπλα διπλα χωρις κενά, Ποια πρεπει να ειναι η διάμετρος του καθε κυκλου;

Στη φωτο, δεν το πετυχα με τη διαμετρο που επελεξα, γιατι ειχα 39 κυκλους και ενα κενο οπως φαινεται στο βελακι.

 

Μηπως υπαρχει στα CAD καποιο ετοιμο εργαλειο για τετοιο σχεδιασμο;

 

 

[mphxths]

Τι σκεφτηκα..μπορει και να ειναι μαλακια...

 

Αν παρεις την διαμετρο του καθε μικρου κυκλου..και την "προβαλλεις" στην επιφανεια του μεγαλου κυκλου...τοτε οπως το φανταζομαι το αθροισμα ολων αυτων των προβολων θα ισουται με την περιμετρο του μεγαλου κυκλου...αρα μπορεις να βγαλεις μια εξισωση να υπολογισεις τι διαμετρο πρεπει να εχουν οι 36 μικροι κυκλοι...

 

Βεβαια ετσι οπως το λεω και το φανταζομαι καπου πασχει η σκεψη μου....στο οτι η προβολη θαναι ευθυγραμμο τμημα..ενω η επιφανεια (περιμετρος) του μεγαλου κυκλου ειναι καμπυλη.

Αρα μηπως πρεπει να βρεθει τι σχεση (αριθμητικη εννοω) εχει η περιμετρος (καμπυλη επιφανεια του μεγαλου κυκλου) με την "νοητη" περιμετρο που σχηματιζουν οι διαμετροι ολων των μικρων κυκλων?

Με καποιον τροπο πρεπει να γινεται..Αν γινει αυτο μετα ευκολα υπολογιζεις στοιχεια των μικρων κυκλων...

[Sellers]

Ο αρχικός κύκλος έχει διάμετρο Δ, και τα μικρότερα κυκλάκια που θες να βάλεις γύρω του θα έχουν ας πούμε διάμετρο δ. Όλα τα μικρά κυκλάκια μαζί, αν ενώσουμε τις ακτίνες τους θα φτιάξουν έναν νέα κύκλο με διάμετρο όσο ο παλιός, συν τα καινούργια. Με λίγα λόγια η διάμετρος του νέου κύκλου θα είναι Δ+δ και συνεπώς η περιφέρεια του π(Δ+δ). Σε αυτήν την περιφέρεια θες να χωρέσεις 36 κυκλάκια διαμέτρου δ. Συνεπώς:

 

π(Δ+δ) = 36δ

 

δηλαδή τελικά

 

δ = πΔ/(36-π)

 

Αν η διαμετρος η αρχική είναι όπως λες 10, και το π πες ότι είναι 3,14 (αν και η βίβλος άλλα λέει) βγάινει τελικά περίπου 0,96.

Ελπίζω να μην έχω σκεφτεί κάτι λάθος.

[Lucifer]

Ο αρχικός κύκλος έχει διάμετρο Δ, και τα μικρότερα κυκλάκια που θες να βάλεις γύρω του θα έχουν ας πούμε διάμετρο δ. Όλα τα μικρά κυκλάκια μαζί, αν ενώσουμε τις ακτίνες τους θα φτιάξουν έναν νέα κύκλο με διάμετρο όσο ο παλιός, συν τα καινούργια. Με λίγα λόγια η διάμετρος του νέου κύκλου θα είναι Δ+δ

Τα υπόλοιπα είναι πολύ τέκνικαλ για τέτοια ώρα, αλλά τι εννοείς να ενώσουμε τις ακτίνες τους; Αν εννοείς τα κέντρα πάσο, αν εννοείς απόξω, τότε θα είναι Δ+2δ.

[UncleBens]

η περίμετρος του μεγάλου κύκλου σου με την συγκεκριμένη διάμετρο δεν είναι 10 αλλα λίγο μεγαλύτερη από 0.99

 

για να χωρέσουν 36 κυκλάκια ακριβώς πάνω της πρέπει το καθένα να έχει διάμετρο 0.27(σε αναλογια με την μονάδα μέτρησης που χρησιμοποιείς για την μεγάλη διάμετρο που είναι 3.18)

[status]

Το 'array' ψάχνεις ή το πληκτρολογείς στον interpreter του ACAD.

[DrLo]

Ο αρχικός κύκλος έχει διάμετρο Δ, και τα μικρότερα κυκλάκια που θες να βάλεις γύρω του θα έχουν ας πούμε διάμετρο δ. Όλα τα μικρά κυκλάκια μαζί, αν ενώσουμε τις ακτίνες τους θα φτιάξουν έναν νέα κύκλο με διάμετρο όσο ο παλιός, συν τα καινούργια. Με λίγα λόγια η διάμετρος του νέου κύκλου θα είναι Δ+δ και συνεπώς η περιφέρεια του π(Δ+δ). Σε αυτήν την περιφέρεια θες να χωρέσεις 36 κυκλάκια διαμέτρου δ. Συνεπώς:

 

π(Δ+δ) = 36δ

 

δηλαδή τελικά

 

δ = πΔ/(36-π)

 

Αν η διαμετρος η αρχική είναι όπως λες 10, και το π πες ότι είναι 3,14 (αν και η βίβλος άλλα λέει) βγάινει τελικά περίπου 0,96.

Ελπίζω να μην έχω σκεφτεί κάτι λάθος.

 

Όλα αυτά όταν ο αριθμός των μικρών κύκλων είναι πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ μεγάλος ... και πάντα προσεγγστικά

[Sellers]

Τα υπόλοιπα είναι πολύ τέκνικαλ για τέτοια ώρα, αλλά τι εννοείς να ενώσουμε τις ακτίνες τους; Αν εννοείς τα κέντρα πάσο, αν εννοείς απόξω, τότε θα είναι Δ+2δ.

Όχι τις ακτίνες τους, τις διαμέτρους τους εννοούσα. Η διάμετρος του νέου κύκλου θα έχει την διάμετρο του παλιού, συν των νεων μικρών κύκλων αφού εφάπτονται πάνω σε αυτόν.

Όλα αυτά όταν ο αριθμός των μικρών κύκλων είναι πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ πολύ μεγάλος ... και πάντα προσεγγστικά

Ναι το σκέφτηκα αυτό, αλλά αυτο που σκέφτηκα ήταν το εξής (ίσως να είναι και λάθος τώρα που το σκέφτομαι). Το ότι η περιφέρεια είναι x ας πούμε, εννούμε να ξετυλίξουμε τον κύκλο και να έχουμε σε μια ευθεία την γραμμή που τον όριζε. Πάνω σε αυτήν την γραμμή θέλω να χωρέσω όλα τα υπόλοιπα κυκλάκια. Πλέον όχι προσσεγιστικά αφού είναι σε ευθεία.

[Timonkaipumpa]

(Με μία γρήγορη σκέψη)

 

Εάν έχεις v εξωτερικούς κύκλους, τότε αυτοί ακουμπάνε σε v σημεία. 

 

Έτσι, αφού ακουμπάνε σε v σημεία, σχηματίζονται v γωνίες. Άρα, έχεις ένα v-γωνο του οποίου κάθε πλευρά θα είναι ίση με την διάμετρο των εξωτερικών κύκλων και η κάθετη από την μέση κάθε πλευράς του v-γώνου που φτάνει στο κέντρο του μεγάλου (εσωτερικού) κύκλου (μεσοκάθετη) θα έχει μήκος ίσο με R + Δ/2, όπου R είναι η ακτίνα του μεγάλου κύκλου, Δ η διάμετρος των μικρών κύκλων και Δ/2 η ακτίνα του μικρού. 

 

(με μία δεύτερη σκέψη, αφαίρεσα και μερικά σημεία της απάντησης )

Αφού ξέρεις την ακτίνα/διάμετρο των μικρών κύκλων, τότε τους κατασκευάζεις πάνω στο v-γωνο για κάθε του πλευρά. 

 

Άρα, από το κέντρο του αρχικού κύκλου φέρνεις μία ευθεία προς τα έξω του κύκλου και την τελειώνεις εκεί που θα ήθελες να είναι το κέντρο των εξωτερικών κύκλων. 

 

Η απόσταση από την περιφέρεια του εσωτερικού κύκλου και το κέντρο του εξωτερικού θα είναι το μισό της πλευράς του v-γωνου και άρα σχεδιάζεις παράλληλη της εφαπτομένης του κύκλου, για το σημείο που τέμνει η ευθεία αυτή τον κύκλο, με μέση το κέντρο του εξωτερικού κύκλου. Και έτσι έχεις τον πρώτο εξωτερικό. 

 

Το πόση θα πρέπει να είναι η ακτίνα αυτού... νομίζω μπορεί να υπολογιστεί εύκολα από τους τύπους για κανονικά περιγεγραμμένα πολύγωνα. 

[Str]

κάνεις ένα τυχαίο κύκλο
φτιάχνεις μια ακτίνα
κανεις array, αλλά όχι rectangulal.. κάνεις polar
επιλέγεις την ακτίνα
κέντρο δηλώνεις το κέντρο του κύκλου
αριθμό επαναλήψεων διπλάσιο του αριθμού των μικρών κύκλων που θα χρειαστείς
δημιουργούνται οι ακτίνες (πχ 36*2=72)
στο τέρμα μιας ακτίνας, ξεκινάς να σχεδιάζεις κύκλο με κέντρο το σημείο που τελειώνη η ακτίνα, και ακτίνα την απόσταση μέχρι την διλπανή της
ΕΤΣΙ ΕΧΕΙΣ ΤΟΝ 1ο ΜΙΚΡΟ ΚΥΚΛΟ ΠΟΥ ΧΡΕΙΑΖΕΤΑΙ
επαναλαμβάνεις το polar array, 36 φορές για τον μικρό κύκλο
σβήνεις τα πάντα εκτός από τον μεγάλο και τους μικρούς κύκλους
κάνεις scale τον μεγάλο MAZI ME TOUΣ ΜΙΚΡΟΥΣ, όσο τον θελεις
...profit...

[παπι]

http://www.illustrativemathematics.org/illustrations/710

[nickmanak]

Χθες ξενυχτησα ψαχνοντας & ρυθμιζοντας το καταλληλο εργαλειο στο BricsCAD για να μου σχεδιασει εναν αριθμο μικρων κυκλων, σε κυκλικη διαταξη, κολλητα, χωρις να υπαρχει ο μεγαλος κυκλος. Εγω τον μεγαλο κυκλο τον σχεδιαζα ως οδηγο για τοποθετηση με το χερι (ποντικι).

 

Τα καταφερα τελικα ωστε να κανω τη γραφικη δουλεια μου, αλλα στην τελικη δεν μπορεσα να λυσω το μαθηματικο πλεον προβλημα που ανεφερα στο 1ο μηνυμα μου.

 

Στην αρχη ειχα παρει το μηκος κυκλου και το χωρισα σε 36 μερη. Αυτα τα μηκη ομως ειναι τοξα και δεν μπορεις να τα χρησιμοποιησεις ως διαμετρο για τους μικρους κυκλους. Οπως ειδατε στη φωτο, με αυτη τη μεθοδο προεκυψαν 39 κυκλοι  + 1 κενο.

Εψαξα και σε ιστοσελιδες γεωμετριας αλλα χωρις να βρω κατι.

 

Πριν ποσταρω εδω, δοκιμαζα μια παραλλαγη (δειτε τη φωτο), οπου τα άκρα της διαμετρου των μικρων κυκλων να τεμνονται με τον μεγαλο κυκλο. Με αυτη τη μεθοδο τα 36 τοξα και η διαμετρος των μικρων κυκλων ηταν σχετικα παραπλησια οποτε με μια μικρη μειωση της διαμετρου των 36 κυκλων και καποιες προσπαθειες μπορεσα να στοιβαξω τους 36 κυκλους διπλα διπλα χωρις κενα. Ομως αν αλλαζα το 36 και το εκανα 48 ή παραπανω δεν πετυχαινε. Θελει μαθηματικο τυπο, τον οποιο ακομα δεν μπορεσα να βρω!

Ξαναθυμιζω οτι τον μεγαλο κυκλο τον σχεδιαζα ως οδηγο για τοποθετηση με το χερι (ποντικι).

 

 

 

 

 

 

 

[grigas]

r : η ακτίνα του μικρού κύκλου

R : η ακτίνα του μεγάλου κύκλου

α : το πλήθος των μικρών κύκλων

          R x συν(π/2-π/α)
τότε r = -----------------
          1 - συν(π/2-π/α)

hint : στο σημείο επαφής των δύο μικρών κύκλων δημιουργείται ορθογώνιο τρίγωνο με την μία πλευρά να έχει μήκος r, την υποτείνουσα να έχει μήκος r+R και την μεταξύ τους γωνία να είναι (π/2-π/α)

[andreapaog328]

τέτοιο πρόβλημα πέτυχα και στα καλώδια των γραμμών μεταφοράς που έχεις ενα κεντρικο κλώνο και γυρω γυρω άλλους αγωγούς και έπρεπε να βρεις την ακτινα του. δυστυχως δεν εχω το βιβλίο να δω πως τοβγαζε. τους υπολογισμούς τους έκανε σε circular mils παντως. τζαστ ιν κεις. δίνω ιδεες...

[nickmanak]

Ο φιλος grigas τα καταφερε!

Δοκιμασα τον τυπο του στο Εξελ.

Για μεγαλο κυκλο με ακτινα 30 οι 36 μικροι πρεπει να ειναι ακτινας: 2.8644

Το σχεδιασα στο BricsCAD και τους τοποθετησα με το χερι, ειναι ΟΚ. Δοκιμασα και για 24 κυκλους (παλι οκ).

 

Αν θελει κανεις να ασχοληθει και με τη 2η παραλλαγη του προβληματος (που ποσταρα πιο πριν), θα ειμαι εδω για συζητηση. Ευχαριστω ολους!