Προβλημα πιθανοτητων

[4saken]

Το άλμπουμ της panini για το μουντιάλ έχει 639 αυτοκόλλητα.κάθε φακελάκι έχει μέσα 6 αυτοκόλλητα.να βρεθεί η πιθανότητα στα 15 πρωτα φακελακια να βρεθούν 2 δίπλα αυτοκόλλητα.

[defacer]

Η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ζευγάρι διπλό (πράγμα το οποίο είναι διαφορετικό από το "2 ίδιες κάρτες και άλλες 88 μοναδικές" γιατί περιλαμβάνει και την περίπτωση να βρεθούν 4-5-6-10 ζευγάρια, να βρεθεί ένα τριπλό-τετραπλό-πενταπλό κλπ) είναι 1 μείον την πιθανότητα και οι 90 κάρτες να είναι μοναδικές.

 

Η πρώτη κάρτα από τις 90 είναι σίγουρα μοναδική. Για τη δεύτερη κάρτα η πιθανότητα να είναι μοναδική είναι 638/639. Για την τρίτη κάρτα είναι 637/639, μέχρι που φτάνουμε στην 90η κάρτα όπου η πιθανότητα είναι 550/639. Άρα η πιθανότητα να είναι και οι 90 μοναδικές είναι

 

P = 638 * 637 * 636 * ... * 550 / 639^90 = 0.00138422

 

και η πιθανότητα που ζήτησες αρχικά είναι 1 - P = 0.99861578 δηλαδή 99.86% δηλαδή πρακτικά σίγουρα θα έχεις τουλάχιστον ένα διπλό.

[PostHelper]

Η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ζευγάρι διπλό (πράγμα το οποίο είναι διαφορετικό από το "2 ίδιες κάρτες και άλλες 88 μοναδικές" γιατί περιλαμβάνει και την περίπτωση να βρεθούν 4-5-6-10 ζευγάρια, να βρεθεί ένα τριπλό-τετραπλό-πενταπλό κλπ) είναι 1 μείον την πιθανότητα και οι 90 κάρτες να είναι μοναδικές.

 

Η πρώτη κάρτα από τις 90 είναι σίγουρα μοναδική. Για τη δεύτερη κάρτα η πιθανότητα να είναι μοναδική είναι 638/639. Για την τρίτη κάρτα είναι 637/639, μέχρι που φτάνουμε στην 90η κάρτα όπου η πιθανότητα είναι 550/639. Άρα η πιθανότητα να είναι και οι 90 μοναδικές είναι

 

P = 638 * 637 * 636 * ... * 550 / 639^90 = 0.00138422

 

και η πιθανότητα που ζήτησες αρχικά είναι 1 - P = 0.99861578 δηλαδή 99.86% δηλαδή πρακτικά σίγουρα θα έχεις τουλάχιστον ένα διπλό.

 89

[DrLo]

Η πιθανότητα να βρεθεί τουλάχιστον ένα ζευγάρι διπλό (πράγμα το οποίο είναι διαφορετικό από το "2 ίδιες κάρτες και άλλες 88 μοναδικές" γιατί περιλαμβάνει και την περίπτωση να βρεθούν 4-5-6-10 ζευγάρια, να βρεθεί ένα τριπλό-τετραπλό-πενταπλό κλπ) είναι 1 μείον την πιθανότητα και οι 90 κάρτες να είναι μοναδικές.

 

Η πρώτη κάρτα από τις 90 είναι σίγουρα μοναδική. Για τη δεύτερη κάρτα η πιθανότητα να είναι μοναδική είναι 638/639. Για την τρίτη κάρτα είναι 637/639, μέχρι που φτάνουμε στην 90η κάρτα όπου η πιθανότητα είναι 550/639. Άρα η πιθανότητα να είναι και οι 90 μοναδικές είναι

 

P = 638 * 637 * 636 * ... * 550 / 639^90 = 0.00138422

 

και η πιθανότητα που ζήτησες αρχικά είναι 1 - P = 0.99861578 δηλαδή 99.86% δηλαδή πρακτικά σίγουρα θα έχεις τουλάχιστον ένα διπλό.

 

Επειδή είμαι σπαστικός απλά θα πω ότι τα παραπάνω είναι σωστά αν υποθέσουμε ότι

 

1. Όλες οι κάρτες είναι εξίσου πιθανές

2. Όταν παίρνεις την 1η κάρτα αυτόματα στον κόσμο γεννιέται μια άλλη που την αντικαθσιτά

[PostHelper]

Και ολα αυτα υποθετωντας(επειδη το προβλημα δεν το λεει αλλά μαλλον το εχει ως αυτονοητο) οτι καθε φακελακι δεν περιεχει κατ'αναγκη 6 διαφορετικα αυτοκολλητα.

Επειδή είμαι σπαστικός απλά θα πω ότι τα παραπάνω είναι σωστά αν υποθέσουμε ότι

 

1. Όλες οι κάρτες είναι εξίσου πιθανές

2. Όταν παίρνεις την 1η κάρτα αυτόματα στον κόσμο γεννιέται μια άλλη που την αντικαθσιτά

 

Αυτο(το 1) που ειναι ισοδυναμο με το 2 εαν προσθεσεις την λεξη παντα στο τελος της προτασης του 1)) ηταν το πρωτο πραγμα που σκεφτηκα και εγω(μαζι με το παραπανω που ειπα για τα 6 διαφορετικα αυτοκολλητα σε καθε φακελακι) αλλά το προβλημα επειδη ειναι πρακτικο μπορουμε να θεωρησουμε και οτι καθε αυτοκολλητο εκτυπωνεται Ν φορες, και αυτο ειναι και λογικο να το θεωρησουμε οποτε το προβλημα αλλαζει.

[defacer]

@PostHelper σωστός για το 89, λάθος μου.

 

Παιδιά ναι προφανώς αυτό που έγραψα ισχύει μόνο αν κάνεις διάφορες υποθέσεις αλλά δεδομένης της διατύπωσης δε νομίζω ότι έχει νόημα να τα ψειρίζουμε αυτά. If you know what I mean. Γι' αυτό και γω ανέφερα μόνο το πολύ πολύ χοντρό "τι ακριβώς εννοείς 2 διπλά" και ακόμα και κει πήρα την υπόθεσή μου για να κάνω δουλειά.

[PostHelper]

Αν λοιπον:

α)Ολα τα αυτοκολλητα ειναι εξισου πιθανα σε καθε στιγμη.

Τοτε η πιθανοτητα ειναι: 1 - (639!/549!) / (639^90)

 

 

Ενω αν:

α)Καθε φακελακι περιεχει 6 διαφορετικα αυτοκολλητα.

β)Ολα τα αυτοκολλητα ειναι εξισου πιθανα σε καθε στιγμη.

Τοτε η πιθανοτητα ειναι:

1 - ( f[639-6·0 , 6]·f[639-6·1 , 6]·f[639-6·2 , 6]·...·f[639-6·14 , 6] ) / (f[639,6])^15

Οπου f[α,β] = α!/(β!·(α-β)!)

 

 

Ενω αν:

α)Ολα τα αυτοκολλητα εκτυπωθηκαν απο Ν φορες.

Τοτε η πιθανοτητα ειναι:

1 - ((639!/549!)·Ν^90) / ((639·Ν)! / (639Ν-90)!)

 

Ενω αν:

α)Καθε φακελακι περιεχει 6 διαφορετικα αυτοκολλητα.

β)Ολα τα αυτοκολλητα εκτυπωθηκαν απο Ν φορες.

Τοτε η πιθανοτητα ειναι:

Ειναι μπελας.....   αργοτερα....

Επεξ/σία 29 Μαΐου 2014 από PostHelper

[DrLo]

Και ολα αυτα υποθετωντας(επειδη το προβλημα δεν το λεει αλλά μαλλον το εχει ως αυτονοητο) οτι καθε φακελακι δεν περιεχει κατ'αναγκη 6 διαφορετικα αυτοκολλητα.

 

Αυτο(το 1) που ειναι ισοδυναμο με το 2 εαν προσθεσεις την λεξη παντα στο τελος της προτασης του 1)) ηταν το πρωτο πραγμα που σκεφτηκα και εγω(μαζι με το παραπανω που ειπα για τα 6 διαφορετικα αυτοκολλητα σε καθε φακελακι) αλλά το προβλημα επειδη ειναι πρακτικο μπορουμε να θεωρησουμε και οτι καθε αυτοκολλητο εκτυπωνεται Ν φορες, και αυτο ειναι και λογικο να το θεωρησουμε οποτε το προβλημα αλλαζει.

 

Όχι δεν είναι το ίδιο.

 

Αν υπάρχει ένας πλυθισμός από 639 κάρτες αλλά κάθε κάρτα δεν είναι της ίδιας σπανιότητας τότε η πιθανότητα η 2η κάρτα που θα πάρεις να μην είναι ίδια με την πρώτη δεν είναι 638/639 ... εξαρτάται πόσο σπάνια είναι ο 1η.

 

Επίσης αν κάθε .... θεωρητικά ... αν κάθε κάρτα είναι τυπωμένη Ν φορές (δεν είναι διαφορετικής σπανιότητας), η πιθανότητα η 2η κάρτα να είναι διαφορετική από την πρώτη είναι κατά τι μεγαλύτερη από 638/639  [638*Ν/(639*Ν-1)]

[PostHelper]

Όχι δεν είναι το ίδιο.

 

Αν υπάρχει ένας πλυθισμός από 639 κάρτες αλλά κάθε κάρτα δεν είναι της ίδιας σπανιότητας τότε η πιθανότητα η 2η κάρτα που θα πάρεις να μην είναι ίδια με την πρώτη δεν είναι 638/639 ... εξαρτάται πόσο σπάνια είναι ο 1η.

Ναι, απλως υπεθεσα(κακως μαλλον, απλως επειδη μιλαμε για πρακτικο προβλημα αλλά θεωρητικα και για να ειμαστε 100% ακριβεις εχεις δικιο) οτι εννοειται οτι μιλαμε για καρτες που εχουν την ιδια πιθανοτητα να βγουνε καθε στιγμη. Τοτε τα παρακατω 2 ειναι ισοδυναμα:

 

α)Όλες οι κάρτες είναι εξίσου πιθανές παντοτε.

β)Όταν παίρνεις την 1η κάρτα αυτόματα στον κόσμο γεννιέται μια άλλη που την αντικαθιστά